Algèbre Exemples

$f^{- 1} (\frac{3 + x}{x - 2}) = x + 1$

Étape 1

Simplifiez $f^{- 1} (\frac{3 + x}{x - 2})$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{f} \cdot \frac{3 + x}{x - 2} = x + 1$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{f}$ par $\frac{3 + x}{x - 2}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} = x + 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} - x = 1$

Étape 2.2

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{f (x - 2)}{f (x - 2)}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} - x \cdot \frac{f (x - 2)}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.3

Associez $- x$ et $\frac{f (x - 2)}{f (x - 2)}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} + \frac{- x (f (x - 2))}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + x - x (f (x - 2))}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x - x (f x + f \cdot - 2)}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $f$ .

$\frac{3 + x - x (f x - 2 \cdot f)}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x - x (f x) - x (- 2 f)}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 + x - (x \cdot x) f - x (- 2 f)}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 + x - x^{2} f - x (- 2 f)}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 + x - x^{2} f - 1 \cdot - 2 x f}{f (x - 2)} = 1$

Étape 2.5.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} = 1$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$f (x - 2), 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$f (x - 2)$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} = 1$ par $f (x - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} = 1$ par $f (x - 2)$ .

$\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} (f (x - 2)) = 1 (f (x - 2))$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $f (x - 2)$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} (f (x - 2)) = 1 (f (x - 2))$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = 1 (f (x - 2))$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez $f (x - 2)$ par $1$ .

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = f (x - 2)$

Étape 4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = f x + f \cdot - 2$

Étape 4.3.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $f$ .

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = f x - 2 f$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $f x$ des deux côtés de l’équation.

$3 + x - x^{2} f + 2 x f - f x = - 2 f$

Étape 5.1.2

Soustrayez $f x$ de $2 x f$ .

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Étape 5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 + x - x^{2} f + 2 f x - f x = - 2 f$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $f x$ de $2 f x$ .

$3 + x - x^{2} f + 1 f x = - 2 f$

Étape 5.1.3

Multipliez $f$ par $1$ .

$3 + x - x^{2} f + f x = - 2 f$

Étape 5.2

Ajoutez $2 f$ aux deux côtés de l’équation.

$3 + x - x^{2} f + f x + 2 f = 0$

Étape 5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs $a = - f$ , $b = 1 + f$ et $c = 3 + 2 f$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (1 + f) \pm \sqrt{{(1 + f)}^{2} - 4 \cdot (- f \cdot (3 + 2 f))}}{2 (- f)}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - f \pm \sqrt{{(1 + f)}^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{{(1 + f)}^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.3

Réécrivez ${(1 + f)}^{2}$ comme $(1 + f) (1 + f)$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{(1 + f) (1 + f) - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.4

Développez $(1 + f) (1 + f)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 (1 + f) + f (1 + f) - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 f + f (1 + f) - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 f + f \cdot 1 + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 1 f + f \cdot 1 + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.5.1.2

Multipliez $f$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f + f \cdot 1 + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.5.1.3

Multipliez $f$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f + f + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.5.1.4

Multipliez $f$ par $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f + f + f^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.5.2

Additionnez $f$ et $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 4 f \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 4 f \cdot 3 + 4 f (2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.8

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 f (2 f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 \cdot (2 f \cdot f)}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.10.1

Multipliez $f$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.10.1.1

Déplacez $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 \cdot (2 (f \cdot f))}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.10.1.2

Multipliez $f$ par $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 \cdot (2 f^{2})}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.10.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 8 f^{2}}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.11

Additionnez $2 f$ et $12 f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f^{2} + 14 f + 8 f^{2}}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.12

Additionnez $f^{2}$ et $8 f^{2}$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 9 f^{2} + 14 f}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.1.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 (- f)}$

Étape 5.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{- 2 f}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 1 - f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{- 2 f}$ .

$x = \frac{1 + f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

Étape 5.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + f + \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

$x = \frac{1 + f - \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

$x = \frac{1 + f + \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

$x = \frac{1 + f - \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$