Algèbre Exemples

$2 x^{3} + 2 x - 3 = - 0.5 | x - 4 |$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ .

$- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ par $- 0.5$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ par $- 0.5$ .

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $| x - 4 |$ par $1$ .

$| x - 4 | = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$| x - 4 | = - \frac{2 x^{3}}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5 (1)} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.4

Séparez les fractions.

$| x - 4 | = - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.5

Divisez $2$ par $0.5$ .

$| x - 4 | = - (4 \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.6

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$| x - 4 | = - (4 x^{3}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 x}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.10

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5 (1)} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.11

Séparez les fractions.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.12

Divisez $2$ par $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.13

Divisez $x$ par $1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 x) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.14

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + \frac{- 3}{- 0.5}$

Étape 2.3.1.15

Divisez $- 3$ par $- 0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Étape 3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 4 = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 4 = - (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Étape 4.3

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Étape 4.4

Simplifiez $- (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Étape 4.4.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (- 4 x^{3}) - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Étape 4.4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Étape 4.4.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6 = x - 4$

Étape 4.4.4.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$4 x^{3} + 4 x - 6 = x - 4$

Étape 4.5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} + 4 x - 6 - x = - 4$

Étape 4.5.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$4 x^{3} + 3 x - 6 = - 4$

Étape 4.6

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} + 3 x - 6 + 4 = 0$

Étape 4.7

Additionnez $- 6$ et $4$ .

$4 x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Étape 4.8

Factorisez $4 x^{3} + 3 x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.8.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 4.8.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Étape 4.8.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.8.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Étape 4.8.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Étape 4.8.3.3

Multipliez $4$ par $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Étape 4.8.3.4

Multipliez $3$ par $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Étape 4.8.3.5

Additionnez $0.5$ et $1.5$ .

$2 - 2$

Étape 4.8.3.6

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 4.8.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Étape 4.8.5

Divisez $4 x^{3} + 3 x - 2$ par $2 x - 1$ .

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Étape 4.8.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 4.8.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Étape 4.8.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.8.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.8.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 4.8.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 4.8.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 4.8.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 4.8.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 4.8.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Étape 4.8.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Étape 4.8.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Étape 4.8.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Étape 4.8.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Étape 4.8.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Étape 4.8.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + x + 2$

Étape 4.8.6

Écrivez $4 x^{3} + 3 x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 4.9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Étape 4.10

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.10.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 4.10.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.10.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 4.10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.11

Définissez $2 x^{2} + x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.11.1

Définissez $2 x^{2} + x + 2$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Étape 4.11.2

Résolvez $2 x^{2} + x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.11.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.11.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3

Simplifiez

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Étape 4.11.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 4.11.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.11.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Étape 4.11.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Étape 4.12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$