Algèbre Exemples

${(\frac{1}{3})}^{x + 3} = 10$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{3})}^{x + 3}) = \ln (10)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{1}{3})}^{x + 3})$ en déplaçant $x + 3$ hors du logarithme.

$(x + 3) \ln (\frac{1}{3}) = \ln (10)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{3})$ comme $\ln (1) - \ln (3)$ .

$(x + 3) (\ln (1) - \ln (3)) = \ln (10)$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(x + 3) (0 - \ln (3)) = \ln (10)$

Étape 2.4

Soustrayez $\ln (3)$ de $0$ .

$(x + 3) (- \ln (3)) = \ln (10)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(x + 3) (- \ln (3))$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- \ln (3)) + 3 (- \ln (3)) = \ln (10)$

Étape 3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (- \ln (3)) - 3 \ln (3) = \ln (10)$

Étape 3.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x (- \ln (3)) - 3 \ln (3)$ .

$- x \ln (3) - 3 \ln (3) = \ln (10)$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (3) - 3 \ln (3) - \ln (10) = 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $3 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x \ln (3) - \ln (10) = 3 \ln (3)$

Étape 5.2

Ajoutez $\ln (10)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x \ln (3) = 3 \ln (3) + \ln (10)$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- x \ln (3) = 3 \ln (3) + \ln (10)$ par $- \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- x \ln (3) = 3 \ln (3) + \ln (10)$ par $- \ln (3)$ .

$\frac{- x \ln (3)}{- \ln (3)} = \frac{3 \ln (3)}{- \ln (3)} + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{3 \ln (3)}{- \ln (3)} + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{3 \ln (3)}{- \ln (3)} + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 \ln (3)}{- \ln (3)} + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \ln (3)}{- \ln (3)} + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{- 1} + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.3.1.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot 3 + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = - 3 + \frac{\ln (10)}{- \ln (3)}$

Étape 6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - 3 - \frac{\ln (10)}{\ln (3)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3 - \frac{\ln (10)}{\ln (3)}$

Forme décimale :

$x = - 5.09590327 \dots$