Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 3.2.4

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 5.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x + 1)$

Étape 6

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 7.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Étape 7.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$