Algèbre Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \log_{3} (9 x) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \log_{3} (9 x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log_{3} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $9 x$ .

$\log_{3} (9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\log_{3} ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (3^{1} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.6

Évaluez l’exposant.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{3}{2} \log_{3} (4 x^{3})$ en déplaçant $\frac{3}{2}$ dans le logarithme.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} ({(4 x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.8

Appliquez la règle de produit à $4 x^{3}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (4^{\frac{3}{2}} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.11.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{3} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.13

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{3 (\frac{3}{2})})$

Étape 1.13.2

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 1.13.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{\frac{3 \cdot 3}{2}})$

Étape 1.13.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{\frac{9}{2}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}} (8 x^{\frac{9}{2}}))$

Étape 3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{9}{2}})$

Étape 4

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{9}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 (x^{\frac{9}{2}} x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{9}{2} + \frac{1}{2}})$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{9 + 1}{2}})$

Étape 4.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{10}{2}})$

Étape 4.5

Divisez $10$ par $2$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{5})$

Étape 5

Multipliez $3$ par $8$ .

$\log_{3} (24 x^{5})$