Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x} + 6$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\sqrt{x}$ .

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 = \frac{1}{x} \sqrt{x} + 6 \sqrt{x}$

Étape 3.2.1.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$5 = \frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$

Étape 4.2

Résolvez $\sqrt{x}$ .

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Étape 4.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1, 1$

Étape 4.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 4.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ par $x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Étape 4.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Étape 4.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de $\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Étape 4.2.3.1.2

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de ${\sqrt{x}}^{1}$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Étape 4.2.3.1.3

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de $6 \sqrt{x} x$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x) = 5 x$

Étape 4.2.3.1.4

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de $\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x)$ .

$\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$

Étape 4.2.3.2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ par $1 + 6 x$ et simplifiez.

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Étape 4.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ par $1 + 6 x$ .

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Étape 4.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + 6 x$ .

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Étape 4.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Étape 4.2.3.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\sqrt{x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Étape 4.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$ .

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Étape 4.4.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.4.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 x}{1 + 6 x}$ .

$x = \frac{{(5 x)}^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Étape 4.4.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$x = \frac{5^{2} x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Étape 4.4.3.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, {(1 + 6 x)}^{2}$

Étape 4.5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(1 + 6 x)}^{2}$

Étape 4.5.2

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ par ${(1 + 6 x)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.5.2.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ par ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = 25 x^{2}$

Étape 4.5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.1

Soustrayez $25 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x {(1 + 6 x)}^{2} - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.3.1.2.1

Réécrivez ${(1 + 6 x)}^{2}$ comme $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ .

$x ((1 + 6 x) (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.2

Développez $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (1 (1 + 6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x (1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.1.2

Multipliez $6 x$ par $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x \cdot x) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 (x \cdot x)) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.1.6

Multipliez $6$ par $6$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$x (1 + 12 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 1 + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.5.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 12 x \cdot x + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 12 x \cdot x + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.6.1.1

Déplacez $x$ .

$x + 12 (x \cdot x) + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.6.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.6.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x^{1}) - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 12 x^{2} + 36 x^{2 + 1} - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.2.6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x^{3} - 25 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.1.3

Soustrayez $25 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x + 36 x^{3} - 13 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $36 x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) - 13 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $- 13 x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Étape 4.5.3.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (36 x^{2})$ .

$x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Étape 4.5.3.2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x)$ .

$x (1 + 36 x^{2} - 13 x) = 0$

Étape 4.5.3.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.3.2.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 36 \cdot 1 = 36$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 4.5.3.2.2.1.2.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.1.2.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 4$ plus $- 9$

$x (36 x^{2} + (- 4 - 9) x + 1) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (36 x^{2} - 4 x - 9 x + 1) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.3.2.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((36 x^{2} - 4 x) - 9 x + 1) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (4 x (9 x - 1) - (9 x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 1$ .

$x ((9 x - 1) (4 x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$

Étape 4.5.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

Étape 4.5.3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.5.3.5

Définissez $9 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.5.1

Définissez $9 x - 1$ égal à $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Étape 4.5.3.5.2

Résolvez $9 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 1$

Étape 4.5.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 4.5.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 4.5.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Étape 4.5.3.6

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.6.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 4.5.3.6.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 4.5.3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.5.3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.5.3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 4.5.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$ vrai.

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{1}, 0.25$