Algèbre Exemples

$f (x) = 1 - 2^{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 - 2^{x}$ comme une équation.

$y = 1 - 2^{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 - 2^{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 - 2^{y} = x$ .

$1 - 2^{y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2^{y} = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 2^{y} = x - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2^{y} = x - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2^{y}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{2^{y}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $2^{y}$ par $1$ .

$2^{y} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$2^{y} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$2^{y} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$2^{y} = - x + 1$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{y}) = \ln (- x + 1)$

Étape 3.5

Développez $\ln (2^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (2) = \ln (- x + 1)$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (- x + 1)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (- x + 1)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - 2^{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 - 2^{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- (1 - 2^{x}) + 1)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez $- - 2^{x}$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 1 \cdot 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Multipliez $2^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $- 1 + 2^{x} + 1$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (0 + 2^{x})}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $2^{x}$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Étape 5.2.4

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - 2^{\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - 2^{\log_{2} (- x + 1)}$

Étape 5.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - (- x + 1)$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - 2^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$