Algèbre Exemples

$f (x) = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3 = 0$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{x}{3}} + 3 = 0$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $- 2 \cdot 2^{\frac{x}{3}}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez le signe négatif.

$- (2 \cdot 2^{\frac{x}{3}}) + 3 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- (2^{1} \cdot 2^{\frac{x}{3}}) + 3 = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2^{1 + \frac{x}{3}} + 3 = 0$

Étape 1.2.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2^{1 + \frac{x}{3}} = - 3$

Étape 1.2.4

Divisez chaque terme dans $- 2^{1 + \frac{x}{3}} = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2^{1 + \frac{x}{3}} = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 2^{1 + \frac{x}{3}}}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{2^{1 + \frac{x}{3}}}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez $2^{1 + \frac{x}{3}}$ par $1$ .

$2^{1 + \frac{x}{3}} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$2^{1 + \frac{x}{3}} = 3$

Étape 1.2.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{1 + \frac{x}{3}}) = \ln (3)$

Étape 1.2.6

Développez $\ln (2^{1 + \frac{x}{3}})$ en déplaçant $1 + \frac{x}{3}$ hors du logarithme.

$(1 + \frac{x}{3}) \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez $(1 + \frac{x}{3}) \ln (2)$ .

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Étape 1.2.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (2) + \frac{x}{3} \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$\ln (2) + \frac{x}{3} \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.7.1.3

Associez $\frac{x}{3}$ et $\ln (2)$ .

$\ln (2) + \frac{x \ln (2)}{3} = \ln (3)$

Étape 1.2.8

Remettez dans l’ordre $\ln (2)$ et $\frac{x \ln (2)}{3}$ .

$\frac{x \ln (2)}{3} + \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.9

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\frac{x \ln (2)}{3} + \ln (2) - \ln (3) = 0$

Étape 1.2.10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{x \ln (2)}{3} + \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Étape 1.2.11

Soustrayez $\ln (\frac{2}{3})$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x \ln (2)}{3} = - \ln (\frac{2}{3})$

Étape 1.2.12

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x \ln (2)}{3} = 3 (- \ln (\frac{2}{3}))$

Étape 1.2.13

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.13.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.13.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x \ln (2)}{3} = 3 (- \ln (\frac{2}{3}))$

Étape 1.2.13.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \ln (2) = 3 (- \ln (\frac{2}{3}))$

Étape 1.2.13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x \ln (2) = - 3 \ln (\frac{2}{3})$

Étape 1.2.14

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = - 3 \ln (\frac{2}{3})$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.14.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = - 3 \ln (\frac{2}{3})$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Étape 1.2.14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.14.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 1.2.14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Étape 1.2.14.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Étape 1.2.14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.14.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot (0)} + 3$

Étape 2.2

Simplifiez $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot (0)} + 3$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$y = - 2 \cdot 2^{0} + 3$

Étape 2.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = - 2 \cdot 1 + 3$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = - 2 + 3$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$y = 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 1)$

Étape 4