Algèbre Exemples

$3^{x + 1} + 3^{3 - x} = 30$

Étape 1

Réécrivez $3^{x + 1}$ comme $3^{x} \cdot 3^{1}$ .

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3 - x} = 30$

Étape 2

Réécrivez $3^{3 - x}$ comme $3^{3} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot 3^{- x} = 30$

Étape 3

Réécrivez $3^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 30$

Étape 4

Remplacez $3^{x}$ par $u$ .

$u \cdot 3 + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$3 \cdot u + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

Étape 5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 u + 27 \cdot u^{- 1} = 30$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 u + 27 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Étape 5.4

Associez $27$ et $\frac{1}{u}$ .

$3 u + \frac{27}{u} = 30$

Étape 6

Résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $3 u + \frac{27}{u} = 30$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $3 u + \frac{27}{u} = 30$ par $u$ .

$3 u \cdot u + \frac{27}{u} u = 30 u$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$3 (u \cdot u) + \frac{27}{u} u = 30 u$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 u^{2} + 27 = 30 u$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $30 u$ des deux côtés de l’équation.

$3 u^{2} + 27 - 30 u = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u^{2} + 27 - 30 u$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) + 27 - 30 u = 0$

Étape 6.3.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 - 30 u = 0$

Étape 6.3.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 30 u$ .

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 + 3 (- 10 u) = 0$

Étape 6.3.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 u^{2} + 3 \cdot 9$ .

$3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u) = 0$

Étape 6.3.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u)$ .

$3 (u^{2} + 9 - 10 u) = 0$

Étape 6.3.2.2

Factorisez.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $u^{2} + 9 - 10 u$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 9, - 1$

Étape 6.3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((u - 9) (u - 1)) = 0$

Étape 6.3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (u - 9) (u - 1) = 0$

Étape 6.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.4.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 6.3.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 6.3.5

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.5.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 6.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (u - 9) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 9, 1$

Étape 7

Remplacez $u$ par $9$ dans $u = 3^{x}$ .

$9 = 3^{x}$

Étape 8

Résolvez $9 = 3^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 9$ .

$3^{x} = 9$

Étape 8.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{2}$

Étape 8.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = 3^{x}$ .

$1 = 3^{x}$

Étape 10

Résolvez $1 = 3^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 1$ .

$3^{x} = 1$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Étape 10.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 10.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Étape 10.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 10.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 10.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 10.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 10.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$x = 0$

Étape 11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 2, 0$