Algèbre Exemples

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} = 0$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2}, (x + 1) (x - 1), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Les facteurs pour $x + 1$ sont $(x + 1) \cdot (x + 1)$ , qui correspond à $x + 1$ multiplié par lui-même $2$ fois.

$(x + 1) = (x + 1) \cdot (x + 1)$

$(x + 1)$ se produit $2$ fois.

Étape 2.6

Les facteurs pour $x - 1$ sont $(x - 1) \cdot (x - 1)$ , qui correspond à $x - 1$ multiplié par lui-même $2$ fois.

$(x - 1) = (x - 1) \cdot (x - 1)$

$(x - 1)$ se produit $2$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de ${(x + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2}, x + 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$ par ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$ par ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} ({(x - 1)}^{2})) - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ dans le numérateur.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + (x + 1) (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.4

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x (x - 1) + 1 (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + x - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} + 0 - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.2.1.5.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0 {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $0$ par ${(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Regroupez les termes.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- {(x + 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) + x^{2} - 1 = 0$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2}) - 1 = 0$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2})$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2} - x^{2}) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- ({(x + 1)}^{2} - x^{2}) - 1 (1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2} - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ((x + 1) (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.4

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x (x + 1) + 1 (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.5.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.5.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + x + 1 - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 1) = 0$

Étape 4.1.6

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 1 + 0 + 1) = 0$

Étape 4.1.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 1 + 1) = 0$

Étape 4.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 2) = 0$

Étape 4.1.9

Factorisez.

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 4.1.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x) + 2) = 0$

Étape 4.1.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x) + 2 (1)) = 0$

Étape 4.1.9.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 {(x - 1)}^{2} - 1 \cdot (2 (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 2 (x + 1) = 0$

Étape 4.1.11

Factorisez $2$ à partir de $4 {(x - 1)}^{2} - 2 (x + 1)$ .

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Étape 4.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(x - 1)}^{2}$ .

$2 (2 {(x - 1)}^{2}) - 2 (x + 1) = 0$

Étape 4.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x + 1)$ .

$2 (2 {(x - 1)}^{2}) + 2 (- (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 {(x - 1)}^{2}) + 2 (- (x + 1))$ .

$2 (2 {(x - 1)}^{2} - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.12

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 (2 ((x - 1) (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.13

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.14.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.14.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 (2 (x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.14.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.14.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.14.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (2 (x^{2} - x - x + 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.14.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - 2 x + 1) - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.16

Simplifiez

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Étape 4.1.16.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.16.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - (x + 1)) = 0$

Étape 4.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - x - 1 \cdot 1) = 0$

Étape 4.1.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - x - 1) = 0$

Étape 4.1.19

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$2 (2 x^{2} - 5 x + 2 - 1) = 0$

Étape 4.1.20

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 5 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{2} - 5 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $2 x^{2} - 5 x + 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 1 = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 5$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $8$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Forme décimale :

$x = 2.28077640 \dots, 0.21922359 \dots$