Algèbre Exemples

$6 x^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1

Simplifiez $6 x^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.1.2

Multipliez $6 x^{3} \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 1.1.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{3} \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.1.2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.1.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{6 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.2

Pour écrire $- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez $- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x^{3} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{3} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{2 x (3 x^{2}) - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.2

Associez les exposants.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.1.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez $- 2 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 x^{2} - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.4.4

Soustrayez $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 3.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 3.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 3.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 3.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 0, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$