Algèbre Exemples

$4 (\cos (\frac{9 π}{4}) + i \sin (\frac{9 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$4 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{9 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 1.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 2

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Réduisez l’expression $\frac{4 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 (1)} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 \cdot 1} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{1} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 3.2

Divisez $2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ par $1$ .

$2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 5.2

Divisez $\sqrt{2} + i \sqrt{2}$ par $1$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 6.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i \cdot - 1)$

Étape 6.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 - 1 \cdot i)$

Étape 6.7

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 - i)$

Étape 7

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1

Soustrayez $i$ de $0$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (- i)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (- i) + i \sqrt{2} (- i)$

Étape 8

Multipliez $i \sqrt{2} (- i)$ .

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Étape 8.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- (i^{1} i))$

Étape 8.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- (i^{1} i^{1}))$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- i^{1 + 1})$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- i^{2})$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- - 1)$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} \cdot 1$

Étape 9.3

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2}$

Étape 10

Remettez dans l’ordre $\sqrt{2} (- i)$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- i)$