Algèbre Exemples

$x^{2} + 3 x + 7 = - | 2 x | + 12$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- | 2 x | + 12 = x^{2} + 3 x + 7$ .

$- | 2 x | + 12 = x^{2} + 3 x + 7$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| 2 x |$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- | 2 x | = x^{2} + 3 x + 7 - 12$

Étape 2.2

Soustrayez $12$ de $7$ .

$- | 2 x | = x^{2} + 3 x - 5$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- | 2 x | = x^{2} + 3 x - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- | 2 x | = x^{2} + 3 x - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- | 2 x |}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{| 2 x |}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez $| 2 x |$ par $1$ .

$| 2 x | = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$| 2 x | = - 1 \cdot x^{2} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$| 2 x | = - x^{2} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 x}{- 1}$ .

$| 2 x | = - x^{2} - 1 \cdot (3 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (3 x)$ comme $- (3 x)$ .

$| 2 x | = - x^{2} - (3 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$| 2 x | = - x^{2} - 3 x + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.3.1.6

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$| 2 x | = - x^{2} - 3 x + 5$

Étape 4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 x = \pm (- x^{2} - 3 x + 5)$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$2 x = - x^{2} - 3 x + 5$

Étape 5.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- x^{2} - 3 x + 5 = 2 x$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 3 x + 5 - 2 x = 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$- x^{2} - 5 x + 5 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 5$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 5)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 5$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 5.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.8

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$2 x = - (- x^{2} - 3 x + 5)$

Étape 5.9

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (- x^{2} - 3 x + 5) = 2 x$

Étape 5.10

Simplifiez $- (- x^{2} - 3 x + 5)$ .

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Étape 5.10.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (- x^{2} - 3 x + 5) = 2 x$

Étape 5.10.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (- x^{2} - 3 x + 5) = 2 x$

Étape 5.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- - x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5 = 2 x$

Étape 5.10.4

Simplifiez

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Étape 5.10.4.1

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 5.10.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5 = 2 x$

Étape 5.10.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5 = 2 x$

Étape 5.10.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$x^{2} + 3 x - 1 \cdot 5 = 2 x$

Étape 5.10.4.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{2} + 3 x - 5 = 2 x$

Étape 5.11

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.11.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x - 5 - 2 x = 0$

Étape 5.11.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$x^{2} + x - 5 = 0$

Étape 5.12

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.13

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.14

Simplifiez

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Étape 5.14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.14.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.14.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 5.14.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.14.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.14.1.3

Additionnez $1$ et $20$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.14.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Étape 5.15

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{21}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Étape 5.16

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{21}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x^{2} + 3 x + 7 = - | 2 x | + 12$ vrai.

$x = - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.85410196 \dots, - 2.79128784 \dots$