Algèbre Exemples

$y = e^{8 - x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = e^{8 - y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $e^{8 - y} = x$ .

$e^{8 - y} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{8 - y}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\ln (e^{8 - y})$ en déplaçant $8 - y$ hors du logarithme.

$(8 - y) \ln (e) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(8 - y) \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $8 - y$ par $1$ .

$8 - y = \ln (x)$

Étape 2.4

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \ln (x) - 8$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (x) - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (x) - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (x)$ comme $- \ln (x)$ .

$y = - \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.5.3.1.3

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$y = - \ln (x) + 8$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ est l’inverse de $f (x) = e^{8 - x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{8 - x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - \ln (e^{8 - x}) + 8$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $8 - x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \ln (e)) + 8$

Étape 4.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \cdot 1) + 8$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $8 - x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Étape 4.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Étape 4.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Étape 4.2.3.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Étape 4.2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $- 8 + x + 8$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \ln (x) + 8)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 - (- \ln (x) + 8)}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- - \ln (x)$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + 1 \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Étape 4.3.3.2.2

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 8}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $8 + \ln (x) - 8$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{0 + \ln (x)}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $0$ et $\ln (x)$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{\ln (x)}$

Étape 4.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (x) + 8) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ est l’inverse de $f (x) = e^{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$