Algèbre Exemples

$(1 + x) (1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4}) = 1 + a^{5}$

Étape 1

Simplifiez $(1 + x) (1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4})$ .

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Étape 1.1

Développez $(1 + x) (1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + 1 (- x^{3}) + 1 x^{4} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + 1 (- x^{3}) + 1 x^{4} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$1 - x + 1 x^{2} + 1 (- x^{3}) + 1 x^{4} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$1 - x + x^{2} + 1 (- x^{3}) + 1 x^{4} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- x^{3}$ par $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + 1 x^{4} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.8.1

Déplacez $x$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.9

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{1 + 2} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x \cdot x^{3} + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.11

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.11.1

Déplacez $x^{3}$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - (x^{3} x) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.2.1.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - (x^{3} x^{1}) + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x^{3 + 1} + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.11.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x \cdot x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.12

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.12.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.2.1.12.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{1} x^{4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{1 + 4} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.1.12.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2

Associez les termes opposés dans $1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{5}$ .

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Étape 1.2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$1 + x^{2} - x^{3} + x^{4} + 0 - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $1 + x^{2} - x^{3} + x^{4}$ et $0$ .

$1 + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$1 - x^{3} + x^{4} + 0 + x^{3} - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.4

Additionnez $1 - x^{3} + x^{4}$ et $0$ .

$1 - x^{3} + x^{4} + x^{3} - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.5

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$1 + x^{4} + 0 - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.6

Additionnez $1 + x^{4}$ et $0$ .

$1 + x^{4} - x^{4} + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.7

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$1 + 0 + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 1.2.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + x^{5} = 1 + a^{5}$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{5} = 1 + a^{5} - 1$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $1 + a^{5} - 1$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{5} = a^{5} + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $a^{5}$ et $0$ .

$x^{5} = a^{5}$

Étape 3

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$x = a$