Algèbre Exemples

$\ln (x) - \ln (x + 2) = \ln (8 x)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x + 2}) = \ln (8 x)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x}{x + 2} = 8 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 2, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x + 2, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 2$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{x + 2} = 8 x$ par $x + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{x + 2} = 8 x$ par $x + 2$ .

$\frac{x}{x + 2} (x + 2) = 8 x (x + 2)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x + 2} (x + 2) = 8 x (x + 2)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 8 x (x + 2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.2.1

Déplacez $x$ .

$x = 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2$

Étape 3.2.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x = 8 x^{2} + 8 x \cdot 2$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = 8 x^{2} + 16 x$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$8 x^{2} + 16 x = x$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$8 x^{2} + 16 x - x = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $x$ de $16 x$ .

$8 x^{2} + 15 x = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x^{2} + 15 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $8 x^{2}$ .

$x (8 x) + 15 x = 0$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $15 x$ .

$x (8 x) + x \cdot 15 = 0$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (8 x) + x \cdot 15$ .

$x (8 x + 15) = 0$

Étape 3.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$8 x + 15 = 0$

Étape 3.3.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.6

Définissez $8 x + 15$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $8 x + 15$ égal à $0$ .

$8 x + 15 = 0$

Étape 3.3.6.2

Résolvez $8 x + 15 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.6.2.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$8 x = - 15$

Étape 3.3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x = - 15$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 15$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 15}{8}$

Étape 3.3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 15}{8}$

Étape 3.3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 15}{8}$

Étape 3.3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{15}{8}$

Étape 3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (8 x + 15) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{15}{8}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) - \ln (x + 2) = \ln (8 x)$ vrai.

$Aucune solution$