Algèbre Exemples

$y = 4^{\frac{x}{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 4^{\frac{y}{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $4^{\frac{y}{2}} = x$ .

$4^{\frac{y}{2}} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\ln (4^{\frac{y}{2}})$ en déplaçant $\frac{y}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{y}{2} \ln (4) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{y}{2}$ et $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{2} = \ln (x)$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{\ln (4)}$ .

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Simplifiez $\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2}$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Étape 2.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (4)} (y \ln (4)) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Étape 2.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 2.5.1.1.2.1

Factorisez $\ln (4)$ à partir de $y \ln (4)$ .

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Étape 2.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Étape 2.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $\frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$y = \frac{2}{\ln (2^{2})} \ln (x)$

Étape 2.5.2.1.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Étape 2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Étape 2.5.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{\ln (2)} \ln (x)$

Étape 2.5.2.1.4

Associez $\frac{1}{\ln (2)}$ et $\ln (x)$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}} = \frac{\ln (4^{\frac{x}{2}})}{\ln (2)}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}{2}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $\frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2) \cdot 2}}$

Étape 4.3.4.2

Remettez dans l’ordre $\ln (2)$ et $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez $2 \cdot \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Étape 4.3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Étape 4.3.6

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\log_{4} (x)}$

Étape 4.3.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$