Algèbre Exemples

$(\frac{1}{(x - 1)} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \div \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} - 5 x + 4}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 4

Pour écrire $\frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$(\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$(\frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{x^{2} + x + 1 - 3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 5.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 6.1.3

Réécrivez le polynôme.

$(\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 6.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(\frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et $x - 1$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 1 - 3}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x + 1$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1}$