Algèbre Exemples

$\frac{\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a}}{\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(a - 1) a (1 + a)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a}}{\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a}}$ par $\frac{(a - 1) a (1 + a)}{(a - 1) a (1 + a)}$ .

$\frac{(a - 1) a (1 + a)}{(a - 1) a (1 + a)} \cdot \frac{\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a}}{\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(a - 1) a (1 + a) (\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) (\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - 1) a (1 + a) \frac{a}{a - 1} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $a - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a - 1) a (1 + a)$ .

$\frac{(a - 1) (a (1 + a)) \frac{a}{a - 1} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a (1 + a)) \frac{a}{a - 1} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a (1 + a) a + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a^{1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{1 + 1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + a}{a}$ dans le numérateur.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) \frac{- (1 + a)}{a}}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.6.2

Factorisez $a$ à partir de $(a - 1) a (1 + a)$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + a ((a - 1) (1 + a)) \frac{- (1 + a)}{a}}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} (1 + a) + a ((a - 1) (1 + a)) \frac{- (1 + a)}{a}}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (1 + a) (- (1 + a))}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.7

Élevez $1 + a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- ({(1 + a)}^{1} (1 + a)))}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.8

Élevez $1 + a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- ({(1 + a)}^{1} {(1 + a)}^{1}))}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{1 + 1})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $a$ à partir de $(a - 1) a (1 + a)$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{a ((a - 1) (1 + a)) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{a ((a - 1) (1 + a)) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{(a - 1) (1 + a) (a - 1) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.12

Élevez $a - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{1} (a - 1) (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.13

Élevez $a - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{1} {(a - 1)}^{1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{1 + 1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Étape 3.16

Annulez le facteur commun de $1 + a$ .

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Étape 3.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{a}{1 + a}$ dans le numérateur.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) \frac{- a}{1 + a}}$

Étape 3.16.2

Factorisez $1 + a$ à partir de $(a - 1) a (1 + a)$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (1 + a) ((a - 1) a) \frac{- a}{1 + a}}$

Étape 3.16.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (1 + a) ((a - 1) a) \frac{- a}{1 + a}}$

Étape 3.16.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) a (- a)}$

Étape 3.17

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- (a^{1} a))}$

Étape 3.18

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- (a^{1} a^{1}))}$

Étape 3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{1 + 1})}$

Étape 3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $1 + a$ à partir de $a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $1 + a$ à partir de $a^{2} (1 + a)$ .

$\frac{(1 + a) a^{2} + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.1.2

Factorisez $1 + a$ à partir de $(a - 1) (- {(1 + a)}^{2})$ .

$\frac{(1 + a) a^{2} + (1 + a) ((a - 1) (- (1 + a)))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.1.3

Factorisez $1 + a$ à partir de $(1 + a) a^{2} + (1 + a) ((a - 1) (- (1 + a)))$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} + (a - 1) (- (1 + a)))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + (a - 1) (- 1 \cdot 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} + (a - 1) (- 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.4

Développez $(a - 1) (- 1 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + a (- 1 - a) - 1 (- 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + a \cdot - 1 + a (- a) - 1 (- 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + a \cdot - 1 + a (- a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - 1 \cdot a + a (- a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.2

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a + a (- a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a \cdot a - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.4.1

Déplacez $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - (a \cdot a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} + 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.6

Multipliez $- 1 (- a)$ .

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Étape 4.5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} + 1 + 1 a)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.1.6.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} + 1 + a)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.2

Additionnez $- a$ et $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a^{2} + 1 + 0)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.5.3

Additionnez $- a^{2}$ et $0$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a^{2} + 1)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.6

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{(1 + a) (0 + 1)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 4.7

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a - 1$ à partir de ${(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a - 1$ à partir de ${(a - 1)}^{2} (1 + a)$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) ((a - 1) (1 + a)) + (a - 1) (- a^{2})}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a - 1) ((a - 1) (1 + a)) + (a - 1) (- a^{2})$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) ((a - 1) (1 + a) - a^{2})}$

Étape 5.2

Développez $(a - 1) (1 + a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a (1 + a) - 1 (1 + a) - a^{2})}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a \cdot 1 + a \cdot a - 1 (1 + a) - a^{2})}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a \cdot 1 + a \cdot a - 1 \cdot 1 - 1 a - a^{2})}$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $a \cdot 1 + a \cdot a - 1 \cdot 1 - 1 a$ .

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Étape 5.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $a \cdot 1$ et $- 1 a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (1 a + a \cdot a - 1 \cdot 1 - 1 a - a^{2})}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1 a$ de $1 a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (0 + a \cdot a - 1 \cdot 1 - a^{2})}$

Étape 5.3.3

Additionnez $0$ et $a \cdot a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a \cdot a - 1 \cdot 1 - a^{2})}$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} - 1 \cdot 1 - a^{2})}$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} - 1 - a^{2})}$

Étape 5.5

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (0 - 1)}$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) \cdot - 1}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Multipliez $1 + a$ par $1$ .

$\frac{1 + a}{(a - 1) \cdot - 1}$

Étape 6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $a - 1$ .

$\frac{1 + a}{- 1 \cdot (a - 1)}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + a}{a - 1}$