Algèbre Exemples

$\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} = \frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ .

$\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

$\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a x^{2} + b x + c = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour écrire $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.2

Pour écrire $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 x + 3) (7 x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ par $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ par $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(7 x - 2) (4 x + 3)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(7 x - 2) (4 x + 3)$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a x^{2} + b x + c = \frac{(3 x - 5) (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.5.1

Développez $(3 x - 5) (7 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 x (7 x - 2) - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 \cdot 7 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 \cdot 7 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 \cdot 7 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.1.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 6 x - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.1.5

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.2.2

Soustrayez $35 x$ de $- 6 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.3

Développez $(- 2 x + 1) (4 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x + 3) + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.5.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.5.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.1.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.1.5

Multipliez $4 x$ par $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.1.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.4.2

Additionnez $- 6 x$ et $4 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.5

Soustrayez $8 x^{2}$ de $21 x^{2}$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.6

Soustrayez $2 x$ de $- 41 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 43 x + 10 + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.5.7

Additionnez $10$ et $3$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Étape 3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$a x^{2} + b x + c = 13 x^{2} - 43 x + 13$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $b x$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} + c = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x$

Étape 4.1.2

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x - c$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $a x^{2} = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x - c$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $a x^{2} = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x - c$ par $x^{2}$ .

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Divisez $13$ par $1$ .

$a = 13 + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 43 x$ .

$a = 13 + \frac{x \cdot - 43}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$a = 13 + \frac{x \cdot - 43}{x \cdot x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = 13 + \frac{x \cdot - 43}{x \cdot x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = 13 + \frac{- 43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- b x$ .

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{x (- b)}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} - \frac{b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$