Algèbre Exemples

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (a)$ et $b = \sin (a)$ .

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\tan (a)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.2

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\tan (a)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.4

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $- \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $\sin (a)$ à partir de $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.5

Associez les exposants.

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Étape 1.2.5.1

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.5.2

Élevez $\sin (a)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 1.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (a)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (a)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $\sin^{2} (a)$ à partir de $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ .

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 5

Développez $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ .

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Étape 6.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (a)}$ par $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.1.2

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.1.3

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{1}{\cos (a)}$ et $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (a)}$ par $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.2

Additionnez $- \frac{1}{\cos (a)}$ et $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 6.3

Additionnez $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ et $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (a)$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

Étape 7.3

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (a)$ comme $- \cos^{2} (a)$ .

$1 - \cos^{2} (a)$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (a)$