Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 36} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} + 36 = 0$

Étape 2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 36$

Étape 7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Étape 8.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Étape 8.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Étape 8.4

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Étape 8.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 6$

Étape 8.6

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6 i$

Étape 9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6 i$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6 i, - 6 i$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 2, - 2$

$x = 6 i, - 6 i$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = 2, - 2$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} + 36} \geq 0$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $0.\overline{230769}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} + 36} \geq 0$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{1}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} - 4}{{(4)}^{2} + 36} \geq 0$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $0.\overline{230769}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 2 or x \geq 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Étape 16