Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25} \div \frac{2 x^{2} - 6 x}{3 y^{2} - 15 y} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{y^{2} - 25} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{y^{2} - 25} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{y^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.4

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y^{2} - 15 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y) - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.4.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 15 y$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y) + 3 y (- 5)}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.4.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (y) + 3 y (- 5)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x) - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x) + 2 x (- 3)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x - 3)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x - 3)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.6.2

Factorisez $x - 3$ à partir de $2 x (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{(x - 3) (2 x)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{(x - 3) (2 x)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $y - 5$ à partir de $(y + 5) (y - 5)$ .

$\frac{x + 3}{(y - 5) (y + 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.7.2

Factorisez $y - 5$ à partir de $3 y (y - 5)$ .

$\frac{x + 3}{(y - 5) (y + 5)} \cdot \frac{(y - 5) (3 y)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{(y - 5) (y + 5)} \cdot \frac{(y - 5) (3 y)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{y + 5} \cdot \frac{3 y}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{x + 3}{y + 5}$ par $\frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{(x + 3) (3 y)}{(y + 5) (2 x)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.9

Déplacez $3$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) y}{(y + 5) \cdot 2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.10

Déplacez $2$ à gauche de $y + 5$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) y}{2 \cdot (y + 5) x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.11

Factorisez $1.5$ à partir de $3 - 1.5 y$ .

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Étape 1.11.1

Factorisez $1.5$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2) - 1.5 y}{y + 5}$

Étape 1.11.2

Factorisez $1.5$ à partir de $- 1.5 y$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2) + 1.5 (- y)}{y + 5}$

Étape 1.11.3

Factorisez $1.5$ à partir de $1.5 (2) + 1.5 (- y)$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2 - y)}{y + 5}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1.5 (2 - y)}{y + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2 - y)}{y + 5} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (y + 5) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1.5 (2 - y)}{y + 5}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2 - y) (2 x)}{(y + 5) (2 x)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $2 (y + 5) x$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 x (y + 5)} + \frac{1.5 (2 - y) (2 x)}{(y + 5) (2 x)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 5) (2 x)$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 x (y + 5)} + \frac{1.5 (2 - y) (2 x)}{2 x (y + 5)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 3) y + 1.5 (2 - y) (2 x)}{2 x (y + 5)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $1.5$ à partir de $3 (x + 3) y + 1.5 (2 - y) \cdot 2 x$ .

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Étape 5.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 5.1.1.1

Déplacez $x + 3$ .

$\frac{3 y (x + 3) + 1.5 (2 - y) \cdot 2 x}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2$ et $- y$ .

$\frac{3 y (x + 3) + 1.5 (- y + 2) \cdot 2 x}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.1.1.3

Déplacez $- y + 2$ .

$\frac{3 y (x + 3) + 1.5 \cdot 2 x (- y + 2)}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $1.5$ à partir de $3 y (x + 3)$ .

$\frac{1.5 (2 y (x + 3)) + 1.5 \cdot 2 x (- y + 2)}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $1.5$ à partir de $1.5 \cdot 2 x (- y + 2)$ .

$\frac{1.5 (2 y (x + 3)) + 1.5 (2 x (- y + 2))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.1.4

Factorisez $1.5$ à partir de $1.5 (2 y (x + 3)) + 1.5 (2 x (- y + 2))$ .

$\frac{1.5 (2 y (x + 3) + 2 x (- y + 2))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 3) + 2 x (- y + 2)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 3)$ .

$\frac{1.5 (2 (y (x + 3)) + 2 x (- y + 2))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x (- y + 2)$ .

$\frac{1.5 (2 (y (x + 3)) + 2 (x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y (x + 3)) + 2 (x (- y + 2))$ .

$\frac{1.5 (2 (y (x + 3) + x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1.5 (2 (y x + y \cdot 3 + x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.4

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 \cdot y + x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 y + x (- y) + x \cdot 2))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 y - x y + x \cdot 2))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 y - x y + 2 \cdot x))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.8

Soustrayez $x y$ de $y x$ .

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Étape 5.8.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{1.5 (2 (3 y + x y - x y + 2 x))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.8.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{1.5 (2 (3 y + 0 + 2 x))}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.9

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$\frac{1.5 \cdot 2 (3 y + 2 x)}{2 x (y + 5)}$

Étape 5.10

Multipliez $1.5$ par $2$ .

$\frac{3 (3 y + 2 x)}{2 x (y + 5)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $3$ et $2$ .

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Étape 6.1

Factorisez $1$ à partir de $3 (3 y + 2 x)$ .

$\frac{1 (3 (3 y + 2 x))}{2 x (y + 5)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $1$ à partir de $2 x (y + 5)$ .

$\frac{1 (3 (3 y + 2 x))}{1 (2 x (y + 5))}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (3 (3 y + 2 x))}{1 (2 x (y + 5))}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (3 y + 2 x)}{2 x (y + 5)}$