Algèbre Exemples

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 8} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 2^{3}} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 2) (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.2.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 5.3

Soustrayez $6 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4 + x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 4 + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.2

Additionnez $- 10 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 4 + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.4.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 8.5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 8.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et $x - 2$ .

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Étape 9.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} + 2 x + 4}$