Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{125} + \sqrt{20} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{\sqrt{25 (5)} + \sqrt{20} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5} + \sqrt{20} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{20} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{4 (5)} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{45}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.5

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\frac{5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{9 (5)}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - (3 \sqrt{5})}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.8

Additionnez $5 \sqrt{5}$ et $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{7 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 1.9

Soustrayez $3 \sqrt{5}$ de $7 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 2

Associez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{10}$ en un radical unique.

$4 \sqrt{\frac{5}{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$4 \sqrt{\frac{5 (1)}{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$4 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 7.6.5

Évaluez l’exposant.

$4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 9

Multipliez $2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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Étape 9.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{3}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{3} \sqrt{2}$

Étape 9.2

Associez $\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{3}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{3}$

Étape 9.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{3}$

Étape 9.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3}$

Étape 9.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Étape 10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 2^{1}}{3}$

Étape 10.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \cdot 2}{3}$

Étape 11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{3}$