Algèbre Exemples

$\frac{i \sqrt{2} - 5}{i + \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{i \sqrt{2} - 5}{i + \sqrt{2}}$ par $\frac{i - \sqrt{2}}{i - \sqrt{2}}$ .

$\frac{i \sqrt{2} - 5}{i + \sqrt{2}} \cdot \frac{i - \sqrt{2}}{i - \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{i \sqrt{2} - 5}{i + \sqrt{2}}$ par $\frac{i - \sqrt{2}}{i - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(i \sqrt{2} - 5) (i - \sqrt{2})}{(i + \sqrt{2}) (i - \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(i \sqrt{2} - 5) (i - \sqrt{2})}{i^{2} + i (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} i - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(i \sqrt{2} - 5) (i - \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 3

Développez $(i \sqrt{2} - 5) (i - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \sqrt{2} (i - \sqrt{2}) - 5 (i - \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \sqrt{2} i + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 (i - \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \sqrt{2} i + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $i \sqrt{2} i$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i^{1} i \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{i^{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 1 \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $- 1 \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.4

Multipliez $i \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.4.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i (- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i (- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sqrt{2} + i (- {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i (- {\sqrt{2}}^{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i (- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i (- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i (- 2^{\frac{2}{2}}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{2} + i (- 2^{\frac{2}{2}}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2} + i (- 2^{1}) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- \sqrt{2} + i (- 1 \cdot 2) - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- \sqrt{2} + i \cdot - 2 - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.7

Déplacez $- 2$ à gauche de $i$ .

$\frac{- \sqrt{2} - 2 \cdot i - 5 i - 5 (- \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{- \sqrt{2} - 2 i - 5 i + 5 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 4.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i - 5 i + 4 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 4.3

Soustrayez $5 i$ de $- 2 i$ .

$\frac{- 7 i + 4 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $- 7 i$ et $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} - 7 i}{- 3}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sqrt{2} - 7 i}{3}$