Algèbre Exemples

$\frac{a}{a - 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{36 - a^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{a}{a - 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{6^{2} - a^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = a$ .

$\frac{a}{a - 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{a - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a}{a - 6} \cdot \frac{a + 6}{a + 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{a + 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 6}{a - 6}$ .

$\frac{a}{a - 6} \cdot \frac{a + 6}{a + 6} - \frac{3}{a + 6} \cdot \frac{a - 6}{a - 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 6) (a + 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{a - 6}$ par $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a (a + 6)}{(a - 6) (a + 6)} - \frac{3}{a + 6} \cdot \frac{a - 6}{a - 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{a + 6}$ par $\frac{a - 6}{a - 6}$ .

$\frac{a (a + 6)}{(a - 6) (a + 6)} - \frac{3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a - 6) (a + 6)$ .

$\frac{a (a + 6)}{(a + 6) (a - 6)} - \frac{3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (a + 6) - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 6 - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 6 - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 6.3

Déplacez $6$ à gauche de $a$ .

$\frac{a^{2} + 6 \cdot a - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 6 a - 3 a - 3 \cdot - 6}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$\frac{a^{2} + 6 a - 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 6.6

Soustrayez $3 a$ de $6 a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (6 - a)}$

Étape 7.2

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6) - a)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6) - (a))}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (a)$ .

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6 + a))}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6 + a))}$ au numérateur.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{- a^{2}}{(a + 6) (- 6 + a)}$

Étape 7.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{- a^{2}}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18 - a^{2}}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{3 a + 18 + 0}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 8.2

Additionnez $3 a + 18$ et $0$ .

$\frac{3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 a + 18$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 a$ .

$\frac{3 (a) + 18}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 8.3.2

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\frac{3 a + 3 \cdot 6}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 8.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 a + 3 \cdot 6$ .

$\frac{3 (a + 6)}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $a + 6$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (a + 6)}{(a + 6) (a - 6)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{a - 6}$