Algèbre Exemples

${(2 a - b)}^{2} \div \frac{4 a^{3} - a b^{2}}{3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

${(2 a - b)}^{2} \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 2

Réécrivez ${(2 a - b)}^{2}$ comme $(2 a - b) (2 a - b)$ .

$(2 a - b) (2 a - b) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 3

Développez $(2 a - b) (2 a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 a (2 a - b) - b (2 a - b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 a (2 a) + 2 a (- b) - b (2 a - b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 a (2 a) + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 \cdot 2 a \cdot a + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1

Déplacez $a$ .

$(2 \cdot 2 (a \cdot a) + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$(2 \cdot 2 a^{2} + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 a^{2} + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 a^{2} + 2 \cdot - 1 a b - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 a^{2} - 2 a b - 1 \cdot 2 b a - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.9

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.9.1

Déplacez $b$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.9.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - 1 \cdot - 1 b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a + 1 b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.1.11

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a + b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.2

Soustrayez $2 b a$ de $- 2 a b$ .

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Étape 4.2.1

Déplacez $b$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 a b + b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 a b$ de $- 2 a b$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a$ à partir de $4 a^{3} - a b^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a$ à partir de $4 a^{3}$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (4 a^{2}) - a b^{2}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- a b^{2}$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (4 a^{2}) + a (- 1 b^{2})}$

Étape 5.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a (4 a^{2}) + a (- 1 b^{2})$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (4 a^{2} - 1 b^{2})}$

Étape 5.2

Réécrivez $4 a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a ({(2 a)}^{2} - 1 b^{2})}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a$ et $b = b$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Étape 6

Multipliez $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$ par $\frac{3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$ .

$\frac{(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Étape 7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1

Réécrivez $4 a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{({(2 a)}^{2} - 4 a b + b^{2}) \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Étape 7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 a b = 2 \cdot (2 a) \cdot b$

Étape 7.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{({(2 a)}^{2} - 2 \cdot (2 a) \cdot b + b^{2}) \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Étape 7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 a$ et $b = b$ .

$\frac{{(2 a - b)}^{2} \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à ${(2 a - b)}^{2}$ et $2 a - b$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2 a - b$ à partir de ${(2 a - b)}^{2} \cdot 3$ .

$\frac{(2 a - b) ((2 a - b) \cdot 3)}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Étape 8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $2 a - b$ à partir de $a (2 a + b) (2 a - b)$ .

$\frac{(2 a - b) ((2 a - b) \cdot 3)}{(2 a - b) (a (2 a + b))}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 a - b) ((2 a - b) \cdot 3)}{(2 a - b) (a (2 a + b))}$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 a - b) \cdot 3}{a (2 a + b)}$

Étape 8.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 a - b$ .

$\frac{3 (2 a - b)}{a (2 a + b)}$