Algèbre Exemples

$x^{7} + x^{4} + x^{3} + 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{7} + x^{4}) + x^{3} + 1 = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{4} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) = 0$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1^{3}) (x^{4} + 1) = 0$

Étape 1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Étape 1.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{4} + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} - x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Définissez $x^{4} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{4} + 1$ égal à $0$ .

$x^{4} + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{4} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} = - 1$

Étape 5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Étape 5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Étape 5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Étape 5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$