Algèbre Exemples

$x^{4} + 12 x^{2} - 8$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 12 x^{2} - 8$ égal à $0$ .

$x^{4} + 12 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 12 u - 8 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 12$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $144$ et $32$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{176}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $176$ comme $4^{2} \cdot 11$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $176$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{11}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = - 6 \pm 2 \sqrt{11}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 6 + 2 \sqrt{11}, - 6 - 2 \sqrt{11}$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 0.63324958$

${(x^{2})}^{1} = - 12.63324958$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 0.63324958$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0.63324958}$

Étape 9.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{0.63324958}$

Étape 9.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{0.63324958}$

Étape 9.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{0.63324958}, - \sqrt{0.63324958}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 12.63324958$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 12.63324958$

Étape 11.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 12.63324958}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 12.63324958}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 12.63324958$ comme $- 1 (12.63324958)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12.63324958)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12.63324958)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12.63324958}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12.63324958}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{12.63324958}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{12.63324958}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{12.63324958}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{12.63324958}, - i \sqrt{12.63324958}$

Étape 12

La solution à $x^{4} + 12 x^{2} - 8 = 0$ est $x = \sqrt{0.63324958}, - \sqrt{0.63324958}, i \sqrt{12.63324958}, - i \sqrt{12.63324958}$ .

$x = \sqrt{0.63324958}, - \sqrt{0.63324958}, i \sqrt{12.63324958}, - i \sqrt{12.63324958}$