Algèbre Exemples

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{a b - b^{2}}{a^{2} - a c} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $b$ à partir de $a b - b^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $b$ à partir de $a b$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b a - b^{2}}{a^{2} - a c} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $b$ à partir de $- b^{2}$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b a + b (- b)}{a^{2} - a c} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b a + b (- b)$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a^{2} - a c} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} - a c$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a \cdot a - a c} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- a c$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a \cdot a + a (- 1 c)} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a + a (- 1 c)$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a (a - 1 c)} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $- 1 c$ comme $- c$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a (a - c)} \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = c$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{a^{2} - b^{2}}$

Étape 1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a - b)}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $a - b$ .

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Étape 1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b (a - b)}{a (a - c)}$ dans le numérateur.

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b (a - b)}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 1.5.2

Factorisez $a - b$ à partir de $- b (a - b)$ .

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{(a - b) (- b)}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 1.5.3

Factorisez $a - b$ à partir de $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{(a - b) (- b)}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{(a - b) (a + b)}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{(a - b) (- b)}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{(a - b) (a + b)}$

Étape 1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b}{a (a - c)} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{a + b}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $a - c$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $a - c$ à partir de $a (a - c)$ .

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b}{(a - c) a} \cdot \frac{(a + c) (a - c)}{a + b}$

Étape 1.6.2

Factorisez $a - c$ à partir de $(a + c) (a - c)$ .

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b}{(a - c) a} \cdot \frac{(a - c) (a + c)}{a + b}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b}{(a - c) a} \cdot \frac{(a - c) (a + c)}{a + b}$

Étape 1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b}{a} \cdot \frac{a + c}{a + b}$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{- b}{a}$ par $\frac{a + c}{a + b}$ .

$\frac{b - c}{a + b} + \frac{- b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{b - c}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{b - c}{a + b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{b - c}{a + b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(b - c) a}{(a + b) a} - \frac{b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(a + b) a$ .

$\frac{(b - c) a}{a (a + b)} - \frac{b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(b - c) a - b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b a - c a - b (a + c)}{a (a + b)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b a - c a - b a - b c}{a (a + b)}$

Étape 5.3

Soustrayez $b a$ de $b a$ .

$\frac{- c a + 0 - b c}{a (a + b)}$

Étape 5.4

Additionnez $- c a$ et $0$ .

$\frac{- c a - b c}{a (a + b)}$

Étape 5.5

Réécrivez $- c a - b c$ en forme factorisée.

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Étape 5.5.1

Factorisez $c$ à partir de $- c a - b c$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $c$ à partir de $- c a$ .

$\frac{c (- 1 a) - b c}{a (a + b)}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $c$ à partir de $- b c$ .

$\frac{c (- 1 a) + c (- b)}{a (a + b)}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $c$ à partir de $c (- 1 a) + c (- b)$ .

$\frac{c (- 1 a - b)}{a (a + b)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{c (- a - b)}{a (a + b)}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- a - b$ et $a + b$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{c (- (a) - b)}{a (a + b)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- b$ .

$\frac{c (- (a) - (b))}{a (a + b)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - (b)$ .

$\frac{c (- (a + b))}{a (a + b)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- (a + b)$ comme $- 1 (a + b)$ .

$\frac{c (- 1 (a + b))}{a (a + b)}$

Étape 6.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{c (- 1 (a + b))}{a (a + b)}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{c \cdot (- 1)}{a}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $c$ .

$\frac{- 1 \cdot c}{a}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{c}{a}$