Algèbre Exemples

$k = 1 + \sqrt{3 k - 5}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$1 + \sqrt{3 k - 5} = k$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 k - 5} = k - 1$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 k - 5}}^{2} = {(k - 1)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 k - 5}$ comme ${(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(k - 1)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 k - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(k - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 k - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(k - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 k - 5)}^{1} = {(k - 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$3 k - 5 = {(k - 1)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(k - 1)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(k - 1)}^{2}$ comme $(k - 1) (k - 1)$ .

$3 k - 5 = (k - 1) (k - 1)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(k - 1) (k - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 k - 5 = k (k - 1) - 1 (k - 1)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 k - 5 = k \cdot k + k \cdot - 1 - 1 (k - 1)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 k - 5 = k \cdot k + k \cdot - 1 - 1 k - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$3 k - 5 = k^{2} + k \cdot - 1 - 1 k - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - 1 \cdot k - 1 k - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 k$ comme $- k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - k - 1 k - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 k$ comme $- k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - k - k - 1 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 k - 5 = k^{2} - k - k + 1$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $k$ de $- k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - 2 k + 1$

Étape 5

Résolvez $k$ .

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Étape 5.1

Comme $k$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$k^{2} - 2 k + 1 = 3 k - 5$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 k$ des deux côtés de l’équation.

$k^{2} - 2 k + 1 - 3 k = - 5$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3 k$ de $- 2 k$ .

$k^{2} - 5 k + 1 = - 5$

Étape 5.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$k^{2} - 5 k + 1 + 5 = 0$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$k^{2} - 5 k + 6 = 0$

Étape 5.5

Factorisez $k^{2} - 5 k + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(k - 3) (k - 2) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k - 3 = 0$

$k - 2 = 0$

Étape 5.7

Définissez $k - 3$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $k - 3$ égal à $0$ .

$k - 3 = 0$

Étape 5.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 3$

Étape 5.8

Définissez $k - 2$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $k - 2$ égal à $0$ .

$k - 2 = 0$

Étape 5.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$k = 2$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(k - 3) (k - 2) = 0$ vraie.

$k = 3, 2$