Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x (x^{2} - \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{x})}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \frac{- 1}{x}}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \frac{- 1}{x}}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 + x \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 + x \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 4.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - 1}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $x^{2} + x + 1$ par $1$ .

$x^{2} + x + 1$