Algèbre Exemples

$2 \sqrt{x} + 3 \leq 8$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{x}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 \sqrt{x} \leq 8 - 3$

Étape 1.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$2 \sqrt{x} \leq 5$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 5^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} \leq 5^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$4 x \leq 5^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$4 x \leq 25$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $4 x \leq 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 x \leq 25$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{25}{4}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $2 \sqrt{x} - 5$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{25}{4}$

$x > \frac{25}{4}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sqrt{- 2} + 3 \leq 8$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{25}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{25}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sqrt{3} + 3 \leq 8$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $6.46410161$ est inférieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{25}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{25}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sqrt{9} + 3 \leq 8$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{25}{4}$ Vrai

$x > \frac{25}{4}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{25}{4}$ Vrai

$x > \frac{25}{4}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Notation d’intervalle :

$[0, \frac{25}{4}]$

Étape 10