Algèbre Exemples

$\frac{x - y}{x} - \frac{y - x}{y} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x - y}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{y - x}{y} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{y - x}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{y - x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x - y}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x - y) y}{x y} - \frac{y - x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{y - x}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - y) y}{x y} - \frac{(y - x) x}{y x} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{(x - y) y}{x y} - \frac{(y - x) x}{x y} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - y) y - (y - x) x}{x y} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - y) y - (y - x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y - y \cdot y - (y - x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x y - (y \cdot y) - (y - x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x y - y^{2} - (y - x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y - y^{2} + (- y - - x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x y - y^{2} + (- y + 1 x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x y - y^{2} + (- y + x) x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y - y^{2} - y x + x \cdot x + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.1.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x y - y^{2} - y x + x^{2} + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $x y - y^{2} - y x + x^{2} + x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y$ et $- y x$ .

$\frac{x y - y^{2} - x y + x^{2} + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{- y^{2} + 0 + x^{2} + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.2.3

Additionnez $- y^{2}$ et $0$ .

$\frac{- y^{2} + x^{2} + x^{2} + y^{2}}{x y}$

Étape 6.2.4

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 0}{x y}$

Étape 6.2.5

Additionnez $x^{2} + x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + x^{2}}{x y}$

Étape 6.3

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{x y}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x y}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x (2 x)}{x (y)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 x)}{x y}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{y}$