Algèbre Exemples

$3 x - y^{2} = 8 y + 1$

Étape 1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$ .

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{8 y}{3}$ et $\frac{y^{2}}{3}$ .

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.1.2

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Étape 3.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 3.1.2.3.2.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{4}{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.3.2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Étape 3.1.2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Étape 3.1.2.3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 3.1.2.3.2.6

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 3.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.4.2.1.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.4.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 3.1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

Étape 3.1.2.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Étape 3.1.2.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Étape 3.1.2.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Étape 3.1.2.4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

Étape 3.1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.4.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

Étape 3.1.2.4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Étape 3.1.2.4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 3.1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 - 16}{3}$

Étape 3.1.2.4.2.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$e = \frac{- 15}{3}$

Étape 3.1.2.4.2.4

Divisez $- 15$ par $3$ .

$e = - 5$

Étape 3.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$

Étape 3.1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 5$

$k = - 4$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 5, - 4)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 3.5.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{3}{4})$

Étape 3.5.3.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{17}{4}, - 4)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 4$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{23}{4}$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 5, - 4)$

Foyer : $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = - \frac{23}{4}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 5, - 4)$

Foyer : $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = - \frac{23}{4}$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 4$ dans $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4, - 5.7320508)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $- 4 - \sqrt{3}$ .

$y = - 4 - \sqrt{3}$

Étape 4.1.3

Convertissez $- 4 - \sqrt{3}$ en décimale.

$= - 5.7320508$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 4$ dans $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4, - 2.26794919)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3}$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $- 4 + \sqrt{3}$ .

$y = - 4 + \sqrt{3}$

Étape 4.2.3

Convertissez $- 4 + \sqrt{3}$ en décimale.

$= - 2.26794919$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $- 3$ dans $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 3, - 6.44948974)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{6}$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $- 4 - \sqrt{6}$ .

$y = - 4 - \sqrt{6}$

Étape 4.3.3

Convertissez $- 4 - \sqrt{6}$ en décimale.

$= - 6.44948974$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $- 3$ dans $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 3, - 1.55051025)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{6}$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $- 4 + \sqrt{6}$ .

$y = - 4 + \sqrt{6}$

Étape 4.4.3

Convertissez $- 4 + \sqrt{6}$ en décimale.

$= - 1.55051025$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 5, - 4)$

Foyer : $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Étape 6