Algèbre Exemples

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y^{2} - 5 a y}{a^{2} - y^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 5 a y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y \cdot y - 5 a y}{a^{2} - y^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 5 a y$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y \cdot y + y (- 5 a)}{a^{2} - y^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- 5 a)$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y (y - 5 a)}{a^{2} - y^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = y$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a - 2 y}{a + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - y}{a - y}$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} \cdot \frac{a - y}{a - y} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{a - 2 y}{a + y}$ par $\frac{a - y}{a - y}$ .

$\frac{(a - 2 y) (a - y)}{(a + y) (a - y)} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a - 2 y) (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(a - 2 y) (a - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a - y) - 2 y (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a (- y) - 2 y (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a (- y) - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- y) - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 y \cdot y - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 (y \cdot y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 y a$ de $- a y$ .

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 a y + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2 a y$ de $- a y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y \cdot y - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - (y \cdot y) - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 5 y a}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} + 5 y a}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.7

Additionnez $- 3 a y$ et $5 y a$ .

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Étape 4.7.1

Déplacez $y$ .

$\frac{a^{2} + 2 y^{2} - y^{2} - 3 a y + 5 a y}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.7.2

Additionnez $- 3 a y$ et $5 a y$ .

$\frac{a^{2} + 2 y^{2} - y^{2} + 2 a y}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.8

Soustrayez $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{a^{2} + y^{2} + 2 a y}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.9.1

Réorganisez les termes.

$\frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Étape 4.9.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot y + y^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Étape 4.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = y$ .

$\frac{{(a + y)}^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(a + y)}^{2}$ et $a + y$ .

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Étape 5.1

Factorisez $a + y$ à partir de ${(a + y)}^{2}$ .

$\frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + y}{a - y}$