Algèbre Exemples

$\frac{(1 + i \sqrt{2})}{2} - (1 - i \sqrt{\frac{1}{2}})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}})$

Étape 1.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{1}{\sqrt{2}})$

Étape 1.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Étape 1.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 1.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Étape 1.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Étape 1.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 1.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 1.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 1.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 1.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 1.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 1.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Étape 1.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.1.5

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $i$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - \frac{\sqrt{2} i}{2})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1 - - \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 - - \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Étape 1.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 + 1 \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 1 + \frac{1 + i \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$

Étape 2.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{2} i$ .

$- 1 + \frac{1 + i \sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3

Additionnez $i \sqrt{2}$ et $i \sqrt{2}$ .

$- 1 + \frac{1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 1 (1) - (- 2 i \sqrt{2})}{2}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- 2 i \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (1 - 2 i \sqrt{2})}{2}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 - 2 i \sqrt{2}}{2}$