Algèbre Exemples

$a^{7} b^{2} - a b^{2}$

Étape 1

Factorisez $a b^{2}$ à partir de $a^{7} b^{2} - a b^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $a b^{2}$ à partir de $a^{7} b^{2}$ .

$a b^{2} (a^{6}) - a b^{2}$

Étape 1.2

Factorisez $a b^{2}$ à partir de $- a b^{2}$ .

$a b^{2} (a^{6}) + a b^{2} (- 1)$

Étape 1.3

Factorisez $a b^{2}$ à partir de $a b^{2} (a^{6}) + a b^{2} (- 1)$ .

$a b^{2} (a^{6} - 1)$

Étape 2

Réécrivez $a^{6}$ comme ${(a^{2})}^{3}$ .

$a b^{2} ({(a^{2})}^{3} - 1)$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$a b^{2} ({(a^{2})}^{3} - 1^{3})$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a^{2}$ et $b = 1$ .

$a b^{2} ((a^{2} - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a b^{2} ((a^{2} - 1^{2}) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$a b^{2} ((a + 1) (a - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 5.1.3

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$a b^{2} ((a + 1) (a - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} + 1^{2}))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} + 1^{2})$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{2 \cdot 2} + a^{2} + 1^{2})$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + a^{2} + 1^{2})$

Étape 7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + a^{2} + 1)$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Réécrivez $a^{4} + a^{2} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 8.1.1

Réécrivez le point milieu.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + 2 a^{2} \cdot 1 - a^{2} + 1)$

Étape 8.1.2

Réorganisez les termes.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + 2 a^{2} \cdot 1 + 1 - a^{2})$

Étape 8.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ({(a^{2} + 1)}^{2} - a^{2})$

Étape 8.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a^{2} + 1$ et $b = a$ .

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ((a^{2} + 1 + a) (a^{2} + 1 - a))$

Étape 8.1.5

Simplifiez

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Étape 8.1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ((a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1 - a))$

Étape 8.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ((a^{2} + a + 1) (a^{2} - a + 1))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{2} + a + 1) (a^{2} - a + 1)$