Algèbre Exemples

$\frac{1}{3 x - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4}{3 - 2 x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{3 x - 7} - \frac{4}{3 - 2 x} \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{3 x - 7} - \frac{4}{3 - 2 x}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{3 x - 7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$\frac{1}{3 x - 7} \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} - \frac{4}{3 - 2 x} \geq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{4}{3 - 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{1}{3 x - 7} \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} - \frac{4}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} \geq 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x - 7) (3 - 2 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{3 x - 7}$ par $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 x - 7) (3 - 2 x)} - \frac{4}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} \geq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{4}{3 - 2 x}$ par $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 x - 7) (3 - 2 x)} - \frac{4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 7) (3 - 2 x)$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} - \frac{4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2 x - 4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - 2 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 7}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{3 - 2 x - 12 x - 4 \cdot - 7}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$\frac{3 - 2 x - 12 x + 28}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.5.4

Additionnez $3$ et $28$ .

$\frac{- 2 x - 12 x + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $12 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 14 x + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 14 x$ .

$\frac{- (14 x) + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.7

Réécrivez $31$ comme $- 1 (- 31)$ .

$\frac{- (14 x) - 1 (- 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (14 x) - 1 (- 31)$ .

$\frac{- (14 x - 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (14 x - 31)$ comme $- 1 (14 x - 31)$ .

$\frac{- 1 (14 x - 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$14 x - 31 = 0$

$3 - 2 x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Étape 4

Ajoutez $31$ aux deux côtés de l’équation.

$14 x = 31$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $14 x = 31$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $14 x = 31$ par $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{31}{14}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x}{14} = \frac{31}{14}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{31}{14}$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 3$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 3$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 8

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{31}{14}$

$x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = \frac{31}{14}, \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Étape 12

Déterminez le domaine de $- \frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(3 - 2 x) (3 x - 7) = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 - 2 x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Étape 12.2.2

Définissez $3 - 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Définissez $3 - 2 x$ égal à $0$ .

$3 - 2 x = 0$

Étape 12.2.2.2

Résolvez $3 - 2 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 3$

Étape 12.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 3$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Étape 12.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 12.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Étape 12.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Étape 12.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 12.2.3

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.3.1

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 12.2.3.2

Résolvez $3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 12.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 12.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 12.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 12.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 12.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 - 2 x) (3 x - 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{3 (0) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 0}$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{142857}$ est inférieur au côté droit $1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{3 (2) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 2}$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 1$ est supérieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.27$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $2.27$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{3 (2.27) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 2.27}$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $- 5.26315789$ est inférieur au côté droit $- 2.\overline{597402}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{3 (5) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 5}$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $0.125$ est supérieur au côté droit $- 0.\overline{571428}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{3}{2}$ Faux

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ Vrai

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ Faux

$x > \frac{7}{3}$ Vrai

$x < \frac{3}{2}$ Faux

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ Vrai

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ Faux

$x > \frac{7}{3}$ Vrai

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{3}{2} < x \leq \frac{31}{14}$ ou $x > \frac{7}{3}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{3}{2} < x \leq \frac{31}{14} or x > \frac{7}{3}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{3}{2}, \frac{31}{14}] \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 17