Algèbre Exemples

$\frac{- 4 x^{2} + 16 x - 16}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1

Factorisez $- 4 x^{2} + 16 x - 16$ .

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Étape 1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 16 x - 16$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 16 x - 16}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (4 x) - 16}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4 x) + 4 (- 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} + 4 x) + 4 (- 4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4 x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\frac{4 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$\frac{4 ((- x + 2) (x - 2))}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{4 (- x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3

Associez les exposants.

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Étape 1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (x - 2)) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.4

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{4 \cdot - 1 (x - 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.6

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.7

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 1.3.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Étape 2

Factorisez $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2}) - 3 x - 6}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2}) + 3 (- x) - 6}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 2)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2} - x) + 3 (- 2)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - x) + 3 (- 2)$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2} - x - 2)}$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 ((x - 2) (x + 1))}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x - 2) (x + 1)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et $x - 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $- 4 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- 4 (x - 2))}{3 (x - 2) (x + 1)}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $3 (x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 2) (- 4 (x - 2))}{(x - 2) (3 (x + 1))}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (- 4 (x - 2))}{(x - 2) (3 (x + 1))}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Étape 5

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x - 2$

Étape 6

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $- \frac{4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.3

Remplacez $x$ par $2$ dans $- \frac{4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Remplacez $x$ par $2$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$- \frac{4 (2 - 2)}{3 (2 + 1)}$

Étape 6.3.2

Simplifiez

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{3 (2 + 1)}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{3 \cdot 3}$

Étape 6.3.2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 3}$

Étape 6.3.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{0}{9}$

Étape 6.3.2.5

Divisez $0$ par $9$ .

$- 0$

Étape 6.3.2.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 6.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(2, 0)$

Étape 7