Algèbre Exemples

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.2

Développez $(x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (x^{1 + 2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{2} (x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 \cdot x + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\log_{2} (x^{3} - 2 x + 0 - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.2.1.2

Additionnez $x^{3} - 2 x$ et $0$ .

$\log_{2} (x^{3} - 2 x - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $9 x$ de $- 2 x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) - \log_{2} (x^{2} + x - 6) = 2$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{x^{2} + x - 6}) = 2$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$

Étape 5

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{2} = \frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}$

Étape 6

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{3} - 11 x - 6 = 2^{2} ((x - 2) (x + 3))$

Étape 7

Simplifiez $2^{2} ((x - 2) (x + 3))$ .

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Étape 7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 ((x - 2) (x + 3))$

Étape 7.2

Développez $(x - 2) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x (x + 3) - 2 (x + 3))$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x + 3))$

Étape 7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

Étape 7.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

Étape 7.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 3)$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 x - 2 x - 6)$

Étape 7.3.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x - 6)$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 6$

Étape 7.5

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x - 24$

Étape 8

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} = 4 x - 24$

Étape 8.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} - 4 x = - 24$

Étape 8.3

Soustrayez $4 x$ de $- 11 x$ .

$x^{3} - 15 x - 6 - 4 x^{2} = - 24$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

Étape 9.2

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 9.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 9.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 9.2.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 9.2.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

Étape 9.2.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

Étape 9.2.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 15 \cdot - 2 - 6$

Étape 9.2.3.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 8 - 16 - 15 \cdot - 2 - 6$

Étape 9.2.3.5

Soustrayez $16$ de $- 8$ .

$- 24 - 15 \cdot - 2 - 6$

Étape 9.2.3.6

Multipliez $- 15$ par $- 2$ .

$- 24 + 30 - 6$

Étape 9.2.3.7

Additionnez $- 24$ et $30$ .

$6 - 6$

Étape 9.2.3.8

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 9.2.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6}{x + 2}$

Étape 9.2.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ par $x + 2$ .

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Étape 9.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$6$

Étape 9.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

Étape 9.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 9.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 9.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 9.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 9.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 9.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 9.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 9.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$

Étape 9.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 9.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 9.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 9.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x - 6$

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 9.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

Étape 9.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x - 3$

Étape 9.2.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3) = - 24$

Étape 10

Simplifiez $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ .

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Étape 10.1

Développez $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 10.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot - 3 = - 24$

Étape 10.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x - 6 = - 24$

Étape 10.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 10.2.2.1

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 12 x - 6 = - 24$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $12 x$ de $- 3 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

Étape 11

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 + 24 = 0$

Étape 12

Additionnez $- 6$ et $24$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18 = 0$

Étape 13

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 13.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 13.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Étape 13.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 13.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

Étape 13.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

Étape 13.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 - 15 \cdot 1 + 18$

Étape 13.1.3.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 - 4 - 15 \cdot 1 + 18$

Étape 13.1.3.5

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3 - 15 \cdot 1 + 18$

Étape 13.1.3.6

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$- 3 - 15 + 18$

Étape 13.1.3.7

Soustrayez $15$ de $- 3$ .

$- 18 + 18$

Étape 13.1.3.8

Additionnez $- 18$ et $18$ .

$0$

Étape 13.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18}{x - 1}$

Étape 13.1.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ par $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

Étape 13.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$

Étape 13.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 13.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 13.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 13.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 13.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 13.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 13.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 13.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$

Étape 13.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

Étape 13.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

Étape 13.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

Étape 13.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x + 18$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

Étape 13.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$
										$0$

Étape 13.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x - 18$

Étape 13.1.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Étape 13.2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 13.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Étape 13.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$

Étape 14

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 15

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 15.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 16

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 16.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 17

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 17.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 17.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 18

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, 6, - 3$

Étape 19

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$ vrai.

$x = 6$