Algèbre Exemples

$x = y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} = x$ .

$y^{2} = x$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

Étape 4

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = \sqrt{y}, x = - \sqrt{y}$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y} = x$ .

$\sqrt{y} = x$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez

$y = x^{2}$

Étape 6

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Étape 7

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Étape 7.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ et $f^{- 1} (x) = x^{2}$ puis comparez-les.

Étape 7.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Étape 7.2.1

Déterminez la plage de $\sqrt{x}$ .

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Étape 7.2.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 7.2.2

Déterminez la plage de $- \sqrt{x}$ .

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Étape 7.2.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0]$

Étape 7.2.3

Déterminez l’union de $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Étape 7.2.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 7.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x}$ .

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Étape 7.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 7.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 7.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x^{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = x^{2}$ est le domaine de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ , $f^{- 1} (x) = x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Étape 8