Algèbre Exemples

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Étape 1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1^{\frac{2 - x}{x}}}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Étape 2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Étape 3

Placez $4^{\frac{2 - x}{x}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Étape 4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 4^{3 \cdot 2}$

Étape 5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$- \frac{2 - x}{x} > 3 \cdot 2$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{2 - x}{x} > 6$

Étape 6.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{2 - x}{x} - 6 > 0$

Étape 6.3

Simplifiez $- \frac{2 - x}{x} - 6$ .

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Étape 6.3.1

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Étape 6.3.2

Associez $- 6$ et $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} + \frac{- 6 x}{x} > 0$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (2 - x) - 6 x}{x} > 0$

Étape 6.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Étape 6.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Étape 6.3.4.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1 x - 6 x}{x} > 0$

Étape 6.3.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- 2 + x - 6 x}{x} > 0$

Étape 6.3.4.4

Soustrayez $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 - 5 x}{x} > 0$

Étape 6.3.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - 5 x}{x} > 0$

Étape 6.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{- 1 (2) - (5 x)}{x} > 0$

Étape 6.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (5 x)$ .

$\frac{- 1 (2 + 5 x)}{x} > 0$

Étape 6.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 + 5 x}{x} > 0$

Étape 6.4

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$2 + 5 x = 0$

Étape 6.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 2$

Étape 6.6

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.6.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 6.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Étape 6.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 6.7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 6.8

Consolidez les solutions.

$x = 0, - \frac{2}{5}$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} - 4096$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 - x}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{\frac{2 - x}{x}}) = \ln (0)$

Étape 7.3.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.3.3

Il n’y a pas de solution pour $4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Aucune solution

Étape 7.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$x > 0$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 3)}{- 3}} > 64^{2}$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $10.07936839$ n’est pas supérieur au côté droit $4096$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{5} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{5} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.2$ dans l’inégalité d’origine.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 0.2)}{- 0.2}} > 64^{2}$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $4194304$ est supérieur au côté droit $4096$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (2)}{2}} > 64^{2}$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $1$ n’est pas supérieur au côté droit $4096$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{2}{5}$ Faux

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - \frac{2}{5}$ Faux

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{2}{5}, 0)$

Étape 12