Algèbre Exemples

$y - 3 = {(2 - x)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = {(2 - x)}^{2} + 3$

Étape 1.2

Complétez le carré pour ${(2 - x)}^{2} + 3$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(2 - x)}^{2}$ comme $(2 - x) (2 - x)$ .

$(2 - x) (2 - x) + 3$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(2 - x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 - x) - x (2 - x) + 3$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x (2 - x) + 3$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 - 2 x - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x - x (- x) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2} + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x + 1 x^{2} + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$4 - 2 x - 2 x + x^{2} + 3$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 - 4 x + x^{2} + 3$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$- 4 x + x^{2} + 7$

Étape 1.2.1.3

Remettez dans l’ordre $- 4 x$ et $x^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 7$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 7$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.4.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 7 - 4$

Étape 1.2.5.2.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$e = 3$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} + 3$ .

${(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = 3$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{11}{4}$

Étape 6