Algèbre Exemples

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 5$ $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1

Résolvez $m$ dans $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{n}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$m, 1, n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.2

Comme $m, 1, n$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $m^{1}, n^{1}$ .

Since $m, 1, n$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part m,n.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

$2$ Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.6

Le facteur pour $m^{1}$ est $m$ lui-même.

$m = m$

m occurs $1$ time.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.7

Le facteur pour $n^{1}$ est $n$ lui-même.

$n = n$

n occurs $1$ time.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.8

Le plus petit multiple commun de $m^{1}, n^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$m \cdot n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.2.9

Multipliez $m$ par $n$ .

$m n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$ par $m n$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$ par $m n$ .

$\frac{1}{m} \cdot (m n) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Factorisez $m$ à partir de $m n$ .

$\frac{1}{m} \cdot (m (n)) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{m} \cdot (m n) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{n}$ dans le numérateur.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.3.1.2

Factorisez $n$ à partir de $m n$ .

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (n m)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (n m)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’équation comme $5 m n - m = n$ .

$5 m n - m = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4.2

Factorisez $m$ à partir de $5 m n - m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Factorisez $m$ à partir de $5 m n$ .

$m (5 n) - m = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $m$ à partir de $- m$ .

$m (5 n) + m \cdot - 1 = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $m$ à partir de $m (5 n) + m \cdot - 1$ .

$m (5 n - 1) = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m (5 n - 1) = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4.3

Divisez chaque terme dans $m (5 n - 1) = n$ par $5 n - 1$ et simplifiez.

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Étape 1.4.3.1

Divisez chaque terme dans $m (5 n - 1) = n$ par $5 n - 1$ .

$\frac{m (5 n - 1)}{5 n - 1} = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5 n - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m (5 n - 1)}{5 n - 1} = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 1.4.3.2.1.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $m$ par $\frac{n}{5 n - 1}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $m$ dans $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$ par $\frac{n}{5 n - 1}$ .

$\frac{2}{\frac{n}{5 n - 1}} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{\frac{n}{5 n - 1}} + \frac{3}{n}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 (\frac{5 n - 1}{n}) + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $2$ et $\frac{5 n - 1}{n}$ .

$\frac{2 (5 n - 1)}{n} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2 (5 n - 1)}{n} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (5 n - 1) + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 n) + 2 \cdot - 1 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 n + 2 \cdot - 1 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{10 n - 2 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n - 2 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 2.2.1.4

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3

Résolvez $n$ dans $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$n, 1$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ par $n$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ par $n$ .

$\frac{10 n + 1}{n} \cdot n = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 n + 1}{n} \cdot n = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Soustrayez $12 n$ des deux côtés de l’équation.

$10 n + 1 - 12 n = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $12 n$ de $10 n$ .

$- 2 n + 1 = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$- 2 n + 1 = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 n = - 1$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 2 n = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 n = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 n}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 n}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $n$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $n$ dans $m = \frac{n}{5 n - 1}$ par $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{\frac{1}{2}}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{\frac{1}{2}}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$m = \frac{1}{2} \cdot (1 (\frac{2}{3}))$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Étape 5

Indiquez toutes les solutions.

$m = \frac{1}{3}, n = \frac{1}{2}$