Algèbre Exemples

${(2 + \sqrt{3})}^{2} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ .

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3}) - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3}) - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.3.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))$

Étape 1.5

Développez $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 + 4 \sqrt{3} - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 + 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 + 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 1.6.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 1.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 1.6.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 1.6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})$

Étape 1.6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 1.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 1.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 1.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 1.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})$

Étape 1.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)$

Étape 1.6.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})$

Étape 1.6.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (7 - 4 \sqrt{3})$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$7 + 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Étape 1.8

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Étape 1.9

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$0 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Étape 2.2

Additionnez $0$ et $4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Étape 2.3

Additionnez $4 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$8 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$13.85640646 \dots$