Algèbre Exemples

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x^{2} - x - 12}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2} - x - 12}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x^{2} - x - 12} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x^{2} - x - 12}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{1}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{x + 3}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{x + 3}{(x + 3) (x - 4)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 3 + x - 4}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 3 + x - 4 - 1}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x + 3 - 4 - 1}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{2 x - 1 - 1}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 3) (x - 4) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 3, 4$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = 4$

Étape 6