Algèbre Exemples

$g (x) = | \frac{3}{7} (x - 4) | + 2$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ est $(4, 2)$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7}$ égal à $0$ . Dans ce cas, $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$ .

$\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$ pour déterminer la coordonnée $x$ pour le sommet de la valeur absolue.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $\frac{12}{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x}{7} = \frac{12}{7}$

Étape 1.2.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$3 x = 12$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 12$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$x = 4$

Étape 1.3

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$y = | \frac{3 (4)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Étape 1.4

Simplifiez $| \frac{3 (4)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = | \frac{3 (4) - 12}{7} | + 2$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = | \frac{12 - 12}{7} | + 2$

Étape 1.4.1.3

Soustrayez $12$ de $12$ .

$y = | \frac{0}{7} | + 2$

Étape 1.4.1.4

Divisez $0$ par $7$ .

$y = | 0 | + 2$

Étape 1.4.1.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$y = 0 + 2$

Étape 1.4.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$y = 2$

Étape 1.5

Le sommet de la valeur absolue est $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Pour chaque valeur $x$ , il y a une valeur $y$ . Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du sommet de la valeur absolue.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ . Dans ce cas, le point est $(2, \frac{20}{7})$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = | \frac{3 (2)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = | \frac{3 (2) - 12}{7} | + 2$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2) = | \frac{6 - 12}{7} | + 2$

Étape 3.1.2.1.3

Soustrayez $12$ de $6$ .

$f (2) = | \frac{- 6}{7} | + 2$

Étape 3.1.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = | - \frac{6}{7} | + 2$

Étape 3.1.2.1.5

$- \frac{6}{7}$ est d’environ $- 0.\overline{857142}$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{6}{7}$ et retirez la valeur absolue

$f (2) = \frac{6}{7} + 2$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (2) = \frac{6}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{7}{7}$ .

$f (2) = \frac{6}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{6 + 2 \cdot 7}{7}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (2) = \frac{6 + 14}{7}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $6$ et $14$ .

$f (2) = \frac{20}{7}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{20}{7}$ .

$y = \frac{20}{7}$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ . Dans ce cas, le point est $(3, \frac{17}{7})$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = | \frac{3 (3)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = | \frac{3 (3) - 12}{7} | + 2$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = | \frac{9 - 12}{7} | + 2$

Étape 3.2.2.1.3

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f (3) = | \frac{- 3}{7} | + 2$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3) = | - \frac{3}{7} | + 2$

Étape 3.2.2.1.5

$- \frac{3}{7}$ est d’environ $- 0.\overline{428571}$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{3}{7}$ et retirez la valeur absolue

$f (3) = \frac{3}{7} + 2$

Étape 3.2.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (3) = \frac{3}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{7}{7}$ .

$f (3) = \frac{3}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Étape 3.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{3 + 2 \cdot 7}{7}$

Étape 3.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.5.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (3) = \frac{3 + 14}{7}$

Étape 3.2.2.5.2

Additionnez $3$ et $14$ .

$f (3) = \frac{17}{7}$

Étape 3.2.2.6

La réponse finale est $\frac{17}{7}$ .

$y = \frac{17}{7}$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $6$ dans $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ . Dans ce cas, le point est $(6, \frac{20}{7})$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = | \frac{3 (6)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = | \frac{3 (6) - 12}{7} | + 2$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$f (6) = | \frac{18 - 12}{7} | + 2$

Étape 3.3.2.1.3

Soustrayez $12$ de $18$ .

$f (6) = | \frac{6}{7} | + 2$

Étape 3.3.2.1.4

$\frac{6}{7}$ est d’environ $0.\overline{857142}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$f (6) = \frac{6}{7} + 2$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (6) = \frac{6}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{7}{7}$ .

$f (6) = \frac{6}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = \frac{6 + 2 \cdot 7}{7}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (6) = \frac{6 + 14}{7}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $6$ et $14$ .

$f (6) = \frac{20}{7}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $\frac{20}{7}$ .

$y = \frac{20}{7}$

Étape 3.4

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(4, 2), (2, 2.86), (3, 2.43), (5, 2.43), (6, 2.86)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.86 \\ 3 & 2.43 \\ 4 & 2 \\ 5 & 2.43 \\ 6 & 2.86 \end{array}$

Étape 4