Algèbre Exemples

$x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{6} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 2^{3} + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Étape 6

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{4} + 12 x^{2}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{4}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 12 x^{2}$

Étape 6.2

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$

Étape 6.3

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4 + 6 x^{2})$

Étape 8

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Étape 9

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)$

Étape 10

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 4)$

Étape 11

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Étape 11.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 11.3

Réécrivez le polynôme.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Étape 11.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 2)}^{2}$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}$